Прогулки по ленте Мебиуса

Всем, конечно, знакома удивительная штучка - лента Мебиуса. Для ее создания надо взять полоску бумаги и склеить концы, предварительно повернув один из них на пол-оборота. Вот и все хлопоты, зато теперь в наших руках самая загадочная поверхность, посланница из четырехмерного пространства. Самое удивительное ее свойство - то, что она односторонняя, ее нельзя раскрасить двумя красками, а муха, ползающая по ней, обойдет обе стороны, не пересекая край. Это свойство нашло практическое применение: запатентовано множество устройств, например, абразивный ремень для заточки, красящая лента для печатающих устройств, ременная передача и другие технические решения.

Название свое лента получила в честь выдающегося немецкого математика, профессора Лейпцигского университета Августа Фердинанда Мебиуса (1790-1868), сохранявшего творческую работоспособность до конца своих дней. В работе, посвященной теории многогранников, вышедшей в 1865 году, семидесятипятилетний Мебиус впервые описал свойства односторонней поверхности.

Из множества необычных свойств этой модели расскажем лишь о самом интересном. Рассмотрим двойной лист Мебиуса, который получается, если наложить друг на друга две полоски бумаги, перекрутить их, повернув как единое целое на пол-оборота, и соединить концы. На первый взгляд кажется, что мы получаем два вложенных друг в друга листа Мебиуса. В самом деле, просунув палец между полосками бумаги и обводя им вокруг них до тех пор, пока не возвратитесь, вы «докажете», что фигура состоит из двух отдельных лент. Насекомое, заползшее в щель между бумажными лентами, могло бы совершать такое «кругосветное путешествие» до бесконечности. При этом оно всегда ползало бы по одной полоске бумаги, спинка его касалось бы другой полоски, и ему нигде не удалось бы найти точку, в которой «пол» сходится с «потолком». Отсюда наделенное разумом насекомое заключило бы, что оно путешествует между поверхностями двух отдельных полосок.

Но представим себе, что наше насекомое оставило на полу метку и совершает обход вокруг полосок до тех пор, пока не встретит ее снова. Тогда оно обнаружит, что метка находится не на полу, а на потолке и что необходимо обойти еще раз вокруг полосок, чтобы метка снова очутилась на полу! Мало того, если насекомое настроит вдоль улицы домов и будет нумеровать их слева четные, справа нечетные, то, продолжая движение, вскоре увидит слева четные, справа нечетные. Что произошло - изменились понятия левое-правое или (страшно подумать) четное-нечетное? Самое же ужасное то, что наши любимые гаишники не смогут установить правостороннее движение, ведь если вышеозначенные гипотетические насекомые будут ползти по правой стороне, то они скоро лоб в лоб столкнутся с собратьями, тоже ползущими по правой стороне улицы, правда, кто-то из них будет верх ногами, но с этим никто из них не согласится. Насекомые вряд ли должно обладать недюжинным воображением, чтобы сообразить, что и пол и потолок образуют одну сторону одной единственной полоски. То, что казалось двумя вложенными друг в друга лентами, на самом деле представляет одну большую ленту. И вы можете развернуть модель, превратив ее в одну ленту, и подумать над каверзной задачей: как придать ей снова «двухслойный» вид?
Еще множество удивительных «штучек» можно встретить в книге Мартина Гарднера «Математические головоломки и развлечения» в главе «Занимательные топологические модели». Мы же предлагаем попутешествовать (мысленно, но может кто-то отправится живьем, пусть пришлет свою фотографию).

Представьте плоское разумное существо, живущее в плоскости и не подозревающее о существовании третьего измерения. Предположим, что один из друзей отправился в путешествие, не подозревая, что по каким-то причинам плоскость, в которой они живут, оказалась лентой Мебиуса. Сделав оборот по ней и вернувшись, он предстанет перед друзьями в отраженном виде: сердце справа, ложка в левой руке, хотя он для себя не изменится, для него изменились его друзья. И тут мы, трехмерные, могли бы помочь в решении его проблемы: осторожно пинцетиком вытащить его из плоскости, перевернуть и вернуть обратно. Он снова станет нормальным, но ни за что не объяснит, что с ним произошло.

Теперь один из трехмерных наших друзей отправляется в путешествие. Физики-теоретики считают, что наша вселенная замкнута из-за гравитационного искривления пространства, а по некоторым данным, она еще и перекручена при замыкании как лента Мебиуса.

Тогда наш друг вернется со стороны, противоположной той, куда он полетел, и тоже… вы уже в курсе - отраженным. Сердце справа и левша - еще не беда, спираль ДНК в его белке закручена в другую сторону - только пол беды, но если изменилось направление вращения электронов вокруг ядер или вокруг своей оси (спин), то может произойти аннигиляция и некому будет его встречать, от Солнечной системы останется только вспышка. Поэтому кто-то из четвертого измерения должен помочь - да, да, осторожно пинцетиком вытащить его в четвертое измерение, перевернуть и осторожненько вернуть к нам. И пусть потом агент Малдер из ФБР в течение пяти серий выясняет, что произошло с нашим другом, но об этом будем знать только мы.

Также, пинцетиком, существо из четырехмерного мира может поменять правую перчатку на левую, закрученную по часовой стрелке ракушку на закрученную против часовой стрелки, может вытащить нас из замкнутой комнаты, или, наоборот, поместить в нее. Мало того, как мы, трехмерные, можем искривить плоскую ленту и переместить пинцетиком плоское существо из одной точки плоскости в другую, далекую для плоского существа, но близкую для нас трехмерных, также и нас, трехмерных, четырехмерное существо может запросто перенести как угодно далеко, в Африку, в Сызрань, на Альфу Центавра, причем без энергетических затрат - нужно только хорошо попросить, пишите.

Если вам лень путешествовать или вашим друзьям не по душе приколы с отражением и аннигиляцией, можно заняться более безобидными развлечениями. Склейте ленту Мебиуса из бумаги и разрежьте ее вдоль оси на две половинки. Предсказать результат умозрительно сможет только гений. Если вы это он, то разрежьте ленту по линии, проходящей на одну треть ее ширины от края. Предсказать заранее полученный результат не сможет даже гений. Если вам лень склеивать бумажную полоску, наберите приведенную программу в Visual Basic'e.

Программа рисует на экране ленту Мебиуса. Лента получается за счет движения в пространстве отрезка вращающегося прямой. Движение замыкается в тот момент, когда отрезок совершит необходимые пол оборота. Каждый отрезок рисуется в цикле из более мелких отрезков для возможности продольной (в зависимости от A) полосатой раскраски ленты, при желании можно задать поперечную (в зависимости от Fi) или наклонные полосатые раскраски.

Продольная раскраска нужна для эксперимента: задав значение A например, более 30 при выборе цвета, увидим пустую полоску, проходящую по середине ленты и разрезающую ее на две части, что предлагалось сделать на бумажной модели. И увидим, что лента осталась неразрезанной, но стала вдвое длиннее. Программа позволит также поиграть с лентой, закручивая ее перед склеиванием на целый оборот или даже полтора и в любом направлении, делать ее шире, доводя до самопересечения, покрыть ленту пупырышками, холмами, волосками.

Реклама